【复合函数同增异减问题】在学习函数的单调性时，复合函数的“同增异减”是一个非常重要的知识点。它指的是当两个函数复合时，其单调性的变化规律。掌握这一规律有助于我们快速判断复合函数的增减趋势，尤其在解题过程中能起到事半功倍的效果。
一、基本概念
复合函数：若存在函数 $ y = f(u) $ 和 $ u = g(x) $，则可以构成一个关于 $ x $ 的函数 $ y = f(g(x)) $，称为复合函数。
单调性：一个函数在某个区间内如果随着自变量的增大而增大，则称该函数在这个区间上是增函数；反之则是减函数。
二、“同增异减”原理总结
复合函数的单调性由内外层函数的单调性共同决定。具体来说：
- 如果内外函数都为增函数，则复合函数为增函数；
- 如果内外函数一增一减，则复合函数为减函数；
- 如果内外函数都为减函数，则复合函数为增函数。
换句话说，同号相加为增，异号相加为减。
三、总结表格
| 内层函数 $ u = g(x) $ | 外层函数 $ y = f(u) $ | 复合函数 $ y = f(g(x)) $ 的单调性 |
| 增函数 | 增函数 | 增函数 |
| 增函数 | 减函数 | 减函数 |
| 减函数 | 增函数 | 减函数 |
| 减函数 | 减函数 | 增函数 |
四、举例说明
1. 例1
设 $ f(u) = u^2 $（外层函数），$ g(x) = x + 1 $（内层函数）
- $ g(x) $ 是增函数
- $ f(u) $ 在 $ u > 0 $ 时是增函数，在 $ u < 0 $ 时是减函数
- 当 $ x > -1 $ 时，$ g(x) > 0 $，所以复合函数为增函数
- 当 $ x < -1 $ 时，$ g(x) < 0 $，所以复合函数为减函数
2. 例2
设 $ f(u) = \ln u $（外层函数），$ g(x) = -x $（内层函数）
- $ g(x) $ 是减函数
- $ f(u) $ 在定义域内是增函数
- 所以复合函数 $ \ln(-x) $ 是减函数
五、注意事项
- 复合函数的单调性必须结合定义域来判断；
- 若内层函数在某区间内不单调，需分段讨论；
- “同增异减”适用于连续可导的函数，对于非连续或不可导的函数需谨慎使用。
通过理解“同增异减”的规律，我们可以更高效地分析和解决与复合函数相关的单调性问题。建议多做相关练习，加深对这一知识点的理解和应用能力。