【求一个圆截直线的弦长】在解析几何中，求一个圆被一条直线所截得的弦长是一个常见的问题。解决这个问题需要结合圆的方程与直线的方程，通过代数方法求出交点坐标，再利用两点间距离公式计算弦长。以下是对这一问题的总结与分析。
一、基本概念
- 圆：标准方程为 $(x - a)^2 + (y - b)^2 = r^2$，其中 $(a, b)$ 是圆心，$r$ 是半径。
- 直线：一般形式为 $Ax + By + C = 0$ 或 $y = kx + b$。
- 弦长：圆与直线相交于两点，这两点之间的线段长度称为弦长。
二、解题步骤
1. 联立方程：将直线方程代入圆的方程，得到一个关于 $x$ 或 $y$ 的二次方程。
2. 求根：解这个二次方程，得到两个交点的横坐标（或纵坐标）。
3. 求弦长：利用两点间距离公式计算两点之间的距离。
三、关键公式
| 公式名称 | 公式表达 | 说明 |
| 圆的标准方程 | $(x - a)^2 + (y - b)^2 = r^2$ | 圆心为 $(a, b)$，半径为 $r$ |
| 直线的一般式 | $Ax + By + C = 0$ | 用于代入圆的方程 |
| 弦长公式 | $L = \sqrt{(x_1 - x_2)^2 + (y_1 - y_2)^2}$ | 两点间距离公式 |
| 判别式法 | $L = 2\sqrt{r^2 - d^2}$ | 其中 $d$ 是圆心到直线的距离 |
四、实例分析
假设圆的方程为：$(x - 1)^2 + (y - 2)^2 = 4$，直线方程为：$y = x + 1$
1. 将直线方程代入圆的方程：
$$
(x - 1)^2 + (x + 1 - 2)^2 = 4
$$
化简得：
$$
(x - 1)^2 + (x - 1)^2 = 4 \Rightarrow 2(x - 1)^2 = 4
$$
解得：
$$
(x - 1)^2 = 2 \Rightarrow x = 1 \pm \sqrt{2}
$$
2. 对应的 $y$ 值为：
$$
y = x + 1 \Rightarrow y = 2 \pm \sqrt{2}
$$
3. 两交点为：
$$
A(1 + \sqrt{2}, 2 + \sqrt{2}), B(1 - \sqrt{2}, 2 - \sqrt{2})
$$
4. 计算弦长：
$$
L = \sqrt{[(1 + \sqrt{2}) - (1 - \sqrt{2})]^2 + [(2 + \sqrt{2}) - (2 - \sqrt{2})]^2}
$$
$$
L = \sqrt{(2\sqrt{2})^2 + (2\sqrt{2})^2} = \sqrt{8 + 8} = \sqrt{16} = 4
$$
五、总结
| 步骤 | 内容 |
| 1 | 联立圆和直线方程，化简为二次方程 |
| 2 | 求解二次方程，得到交点坐标 |
| 3 | 使用两点间距离公式计算弦长 |
| 4 | 可使用判别式法快速判断弦长是否存在 |
通过以上步骤，可以系统地解决“求一个圆截直线的弦长”这一问题。实际应用中，可根据题目给出的具体条件选择合适的方法，提高解题效率。