问行列式计算公式是什么

【行列式计算公式是什么】行列式是线性代数中的一个重要概念，常用于判断矩阵是否可逆、求解线性方程组以及在几何中表示面积和体积的变化。行列式的计算方法根据矩阵的阶数不同而有所差异。以下是对行列式计算公式的总结。

一、行列式的定义

行列式是一个与方阵（n×n矩阵）相关的标量值，记作 A 或 det(A)。它反映了矩阵所代表的线性变换对空间的“缩放”程度。

二、行列式的计算公式

1. 2×2 矩阵的行列式

对于一个 2×2 矩阵：

$$

A = \begin{bmatrix}

a & b \\

c & d \\

\end{bmatrix}

$$

其行列式为：

$$

\text{det}(A) = ad - bc

$$

2. 3×3 矩阵的行列式

对于一个 3×3 矩阵：

$$

A = \begin{bmatrix}

a_{11} & a_{12} & a_{13} \\

a_{21} & a_{22} & a_{23} \\

a_{31} & a_{32} & a_{33} \\

\end{bmatrix}

$$

其行列式可以通过展开法或对角线法则计算：

展开法（按第一行展开）：

$$

\text{det}(A) = a_{11} \cdot \text{det}\begin{bmatrix} a_{22} & a_{23} \\ a_{32} & a_{33} \end{bmatrix}

- a_{12} \cdot \text{det}\begin{bmatrix} a_{21} & a_{23} \\ a_{31} & a_{33} \end{bmatrix}

+ a_{13} \cdot \text{det}\begin{bmatrix} a_{21} & a_{22} \\ a_{31} & a_{32} \end{bmatrix}

$$

对角线法则（Sarrus 法则）：

$$

\text{det}(A) = a_{11}a_{22}a_{33} + a_{12}a_{23}a_{31} + a_{13}a_{21}a_{32}

- a_{13}a_{22}a_{31} - a_{11}a_{23}a_{32} - a_{12}a_{21}a_{33}

$$

3. n×n 矩阵的行列式（一般公式）

对于一般的 n×n 矩阵 A，其行列式可以通过余子式展开或拉普拉斯展开来计算。例如，按第 i 行展开：

$$

\text{det}(A) = \sum_{j=1}^{n} (-1)^{i+j} a_{ij} M_{ij}

$$

其中，$M_{ij}$ 是去掉第 i 行和第 j 列后的 (n-1)×(n-1) 子矩阵的行列式，称为余子式。

三、常用行列式计算方式对比表

四、行列式的性质（简要）

1. 交换两行（列）：行列式变号。

2. 某一行（列）乘以常数 k：行列式乘以 k。

3. 若两行（列）相同：行列式为 0。

4. 若某行（列）为零向量：行列式为 0。

5. 行列式与转置相等：$\text{det}(A^T) = \text{det}(A)$

五、小结

行列式的计算依赖于矩阵的阶数，2×2 和 3×3 矩阵有直接公式，而更高阶矩阵通常采用展开法或简化技巧进行计算。理解行列式的本质有助于更好地掌握线性代数的核心内容。